Diferensial

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan

variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.

Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.

Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.

Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstrimum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

TURUNAN FUNGSI

Pengertian turunan fungsi

Nilai x mengalami perubahan , yang besarnya ( a+ h) – a = h. Nilai fungsi juga mengalami perubahan yang besarnya f(a + h) – f(a).

Laju perubahan fungsi f:x         f(x) atau y = f(x) di x = a , di tulis f’(a)

 di sebut turunan atau derivatif di x= a. Turunan f(x)= a dirumuskan dengan:

                 

Jika fungsi f(x) diferensiabel (mempunyai turunan) untuk setiap nilai x dalam domain D dengan D € R, maka turunan fungsi f (x) ditulis

 

o   F’(x) disebut fungsi dari f(x)

o   Proses menentukan f’(x) dari f(x) disebut penurunan (diferensial)

o   Notasi lain untuk turunan fungsi y = f(x) adalah y’ atau

Bentuk-bentuk:

  

disebut notasi Leibniz untuk turunan.

TURUNAN FUNGSI KONSTAN DAN FUNGSI PANGKAT

1.      Jika f(x) = k dengan k konstan untuk setiap x ( f fungsi konstan) , maka f’(x)= 0

2.      Jika f(x) = x untuk setiap x (f fungsi Identitas) , maka f’(x)= I

3.      Jika f(x)= xⁿ dengan n bilangan bulat positif , untuk setipa x , maka f’(x) = nx^n-1

SIFAT-SIFAT TURUNAN

Jika k suatu konstanta , f dan g fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, u dan v fungsi-fungsi dalam x sehingga u= f(x) dan v= g(x) maka berlaku:

 

1.      Jika y = ku                   maka y’= k(u’)

2.      Jika y= u+v                 maka y’= u’+v’

3.      Jika y= u-v                  maka y’ = u’-v’

4.      Jika y= uv                    maka y’= u’v+uv’

5.      Jika y= u/v                    maka y'= u'v-uv'/ v2